1ère journée

Workshop: Arithmetic in Positive Characteristic, 14th February 2020

(This workshop has been rescheduled due to a strike in France)

The workshop is the first instance of the Séminaire tournant Caen-Lyon. The lectures will take place in room S3 247, located at the second floor (in french notation) of the building Sciences 3 of Campus 2.

The speakers will be Jean Paul Allouche, Quentin Gazda, Ambrus Pal and Floric Tavares Ribeiro.

11h-12h Quentin Gazda

Groupes d'extensions de structures de Hodge pour les corps de fonctions : premiers pas vers une conjecture à la Beilinson.

Considérons le foncteur qui, étant donné une variété quasi-projective sur les rationnels ou plus généralement un motif mixte, lui associe sa structure de Hodge avec son action de la conjugaison complexe. Ce foncteur est exact et définit donc un morphisme du groupe des extensions de motifs mixtes vers le groupe des extensions de structures de Hodge. C'est en fait un morphisme d'espaces vectoriels réels et on prédit que son déterminant, modulo un choix de bases rationnelles, est donné par la valeur spéciale en $0$ d'une fonction $L$ d'un motif. C'est l'une des inattaquables conjectures de Beilinson.

La situation pour les corps de fonctions semble parallèle. Dans cet exposé, il s'agira de définir et étudier les structures de Hodge avec "conjugaison complexe" dans l'univers des corps de fonctions. Étrangement, les structures de Hodge-Pink ne semble pas être la bonne catégorie à affiner. Nous montrerons que les groupes d'extensions de ces structures se comportent de façon bien plus "chaotique" que pour les corps de nombres.

14h-15h Ambrus Pal

Families of A-expansions

First I will report on the work of Lopez, Petrov and Goss as well as on the thesis work in progress of Voysey, written under my supervision, which concern various types of Drinfeld modular forms that are A-expansions, i.e. they have a much more convenient formal expansion around the cusps than the usual t-expansion. Then I will talk about some open problems and strategies to prove them, based on some recent work of Hattori and Nicole-Rosso; these problems concern families of A-expansions and demonstrate in several interesting ways how the shape of the general theory of p-adic families of Drinfeld modular forms should differ from the classical theory, with less emphasis on Hecke eigenforms and Galois representations and more emphasis on t-expansions.

15h15-16h15 Floric Tavares Ribeiro

A class formula for admissible Anderson A-modules.

Lenny Taelman proved in 2012 a class formula for Drinfeld A-modules when A is a polynomial ring. Several deep but partial generalizations have been obtained since, in the direction of Drinfeld A-modules for a general A or more generally Anderson A-modules. We prove a class formula for a large class of Anderson A-modules, covering in particular the case of Drinfeld modules. The proof uses the notion of Stark units, previously introduced to prove log-algebraicity identities. This is a joint work with Bruno Anglès and Tuan Ngo Dac.

16h30-17h : Pause thé/café

17h-18h Jean Paul Allouche

Transcendance en caractéristique positive et automates finis

Un théorème de Christol (1979, complété en 1980 par Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy) donne une caractérisation combinatoiresimple (« par automates finis ») des coefficients des séries formelles algébriques sur les fractions rationnelles sur un corps fini. Ce résultat a d'abord été appliqué à des séries ad hoc, par exemple à la série Σ (s₂(n²) mod 2) Xⁿ, où s₂ est la somme des chiffres binaires de n. L'auteura ensuite donné une nouvelle démonstration --par automates-- de la transcendance de la série formelle Π de Carlitz. Plusieurs résultats ontsuivi autour des fonctions zêta et Gamma de Carlitz (citons les travaux de V. Berthé, D. Thakur, J.-Y. Yao, M. Mendès France, Y. Hu,...).
Nous nous proposons d'aborder brièvement le théorème de Christol, puis d'indiquer les étapes (et quelques anecdotes) sur les applications à la transcendance en caractéristique positive. Nous donnerons aussi quelques autres apparitions / applications des suites « automatiques ».

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